martes, febrero 14, 2012

La ecuación, un modesto elogio

"Un amigo le dice a otro : "Yo tengo el doble de la edad que tu tenías cuando yo tenía la edad que tu tienes, y cuando tu tengas la edad que yo tengo ahora , la suma de nuestras edades será 36"

Parece un trabalenguas, y sin embargo, es un problema bien formulado que tiene solución. ¿Son capaces de encontrarla? Una ecuación expresa simbólicamente en lenguaje matemático, de forma concisa y exacta, una frase que en lenguaje natural puede ser muy complicada. Si plantean el anterior problema (les dejo este pequeño reto) se sorprenderán al ver lo claro que resulta en su forma matemática. Y si lo resuelven, piensen lo difícil que hubiera sido sin las matemáticas (y experimenten por unos segundos la embriaguez del éxito).

La ecuación, en gran parte invento de los árabes, es uno de los mayores logros de la humanidad. Saber plantearlas correctamente prepara la mente para comprender textos difíciles, y es la antesala del pensamiento abstracto necesario para programar ordenadores. Está en el punto medio entre lo que se denomina "lenguaje" y lo que se denomina "matemáticas".

Dominar el lenguaje hasta el punto de poder entender y decir cosas como el anterior problema ¿no será una valiosa ayuda para después poder retorcerlo, deformarlo y llegar hasta expresiones poéticas, con múltiples significados y evocaciones, que vayan más allá de lo que pueden expresar las matemáticas? ¿Sabían que el uso de "x" para designar a la incógnita se debe a Omar Jayam, poeta y matemático?

Pues bien, el problema anterior, en mi infancia, se enseñaba en las escuelas de este país en octavo de EGB. Ahora compruebo consternado que el nivel de matemáticas ha retrocedido por lo menos dos años, y me temo que más. Probablemente el de lenguaje también. Esto es un indicio del futuro que nos espera. ¿Vamos a hacer algo para remediarlo entre todos o nos resignamos?.

Les dejo otro problema. "Tres banqueros se reparten un saco de pepitas de oro, de tal forma que: (1) La suma de los cuadrados de los pesos de cada una de las partes es igual a 1000. (2) Al primero le corresponden 24 gramos más que a los otros dos juntos. (3) Diez veces la parte del primero es igual al cubo de la parte del tercero".

Este es más feo y más difícil... más contemporáneo ¿alguien se anima?. Dejen sus respuestas si lo desean. Aquí está la mía.

18 comentarios:

David Álvarez dijo...

16 y 12???

Francesc Vera dijo...

La primera equació dóna 16 i 12, la segona potser em costarà una mica més (que jo no vaig passar de les de segon grau i em fa la impressió que en aquesta apareixen potències al cub).

no ho diguis dijo...

Frikosal:

¡Qué firma más densa tiene que tener usted!

Me pierdo me encuentro.

Siga con sus discursos que nosotros seguimos con los macarrones (yo).
Un gran abrazo virtual.

Osselin dijo...

A mi hijo de 1º de ESO le están enseñando qué es un angulo recto , a mi hija de 3º de primaria también.
Mi hijo dice que es un insulto a su inteligencia y tiene razón.
Llevo dando clases 30 años y vamos de 2 a 3 cursos por detrás ahora de loque yo explicaba entonces.
Pero la explicación es bien clara.
Si copiamos el enunciado textual entrecomillado en Google, nos sale esto:

Sea x “tu edad”
Sea y “nuestra diferencia de edad”

“Yo tengo el doble de la edad que tu tenías cuando yo tenía la edad que tu tienes.”

es simplemente, 2(x-y)=x+y; reduciendo, x=3y

Y “Cuando tu tengas la edad que yo tengo ahora, la suma de nuestras edades será 36 años.”

es (x+y)+(x+2y)=36, o sea, 2x+3y=36.

Sustituyendo el resultado de antes, 9y=36, luego y=4, y también x=12.

Luego las edades son 12 y 16

Cuando yo daba clases de Matemáticas, si yo no daba la solución, sólo 1 o 2 personas resolvían el problema.

El problema de las editoriales actuales es que sólo redactan problemas para tontos. Y el problema añadido es que los profesores cómodos (una gran mayoría silenciosa) no cambian ni una coma de la editorial.

Por suerte no todos los profesores somos así.

Hace unos años mi hijo tenía que resolver planteamientos de MCD y MCM. Le bastaron 5 minutos de Google para encontrar un EXCEL que resolvía cualquier cálculo de MCD o MCM.


Mucha información y poco razonamiento. Es la triste realidad.

Osselin dijo...

El segundo problema no puede encontrarse en Google.
¿Quién resolvera el problema?

frikosal dijo...

Jaja, si que está en google el primero, lo recordaba más o menos y lo encontré.
El segundo lo he inventado esta mañana tomando un café.. también está en google (estas mismas palabras, este código absurdo "xUFHddw=++dw2ddss" ya están en google, a medida que voy escribiendo google lo va registrando). Lo que no está por el momento es la solución.. creo que va a sorprenderles, espero que para bien.

Ramon Portillo dijo...

Jajaja! ¡Cómo te gusta hacernos pensar!

Aunque ya han dado la respuesta, incluso el desarrollo por parte de un profesional del ramo, yo añadiré que al primer problema lo he resuelto sin google y con tres variables: x para la edad 1, y para la edad 2 y k para la diferencia. Probablemente la formulación es más compleja en su forma, pero más fácil de plantear que al final es la clave, pienso yo, para resolver el problema ;-)

Para el segundo problema, ignoro si los polinomios en cada una de las tres variables tienen una solución analítica, lo más razonable es no complicarse demasiado, teniendo en cuenta que el tiempo es escaso y aplicar una suerte de resolución numérica o gráfica... una resolución numérica (que por supuesto no he hecho con lápiz y papel) arroja que los pesos correspondientes serían:

1º->10,2312
2º->29,5541
3º->4,67709

Aunque esta solución carece de interés verdad...

Respecto a lo de qué vamos a hacer, ¿qué podemos hacer?

Saludos.

frikosal dijo...

Ramón,

Yo el primero lo he planteado con dos ecuaciones pero seguramente con tres es más claro, debes tener razón.

Respecto al segundo, la solución debe ser numérica. Es así como se resuelve todo desde los años 80 en todas partes. Los problemas que se pueden resolver con lápiz y papel son una parte muy pequeña del conjunto de problemas que interesa resolver. Probablemente en 1900, un matemático hubiera resuelto el sistema de ecuaciones sin ordenador, pero eso hoy no tiene mucho sentido.

De todos modos creo que te has confundido con la segunda ecuación.

Ramon Portillo dijo...

Efectivamente, me he confundido con el planteamiento de la segunda ecuación, una prueba más de que el planteamiento es fundamental ;-)

Sistema de ecuaciones:

x^2+y^2+z^2=1000
x=y+z+24
10x=z^3

Por eliminación es más sencillo quitar x e y de modo que resulta:

z^6+20z^3+100z^2-200z-104800=0

Encontrar las raíces de este polinomio puede que no sea posible de modo analítico, pero uno numérico arroja un valor de 6.75972.

De modo similar para las variables restantes:

x->30.8877
y->0.127986

Con estos datos, deduzco cuál es la sorpresa ;-S

Saludos.

Osselin dijo...

Respecto al segundo problema¿hay que dar por verdaderas las tres igualdades que plantea el problema?

frikosal dijo...

Osselin,
Si, claro, estas son las premisas.

frikosal dijo...

Ramón,

Tu resultado es correcto. Las ecuaciones son correctas y el polinomio también. En principio ese polinomio no tiene solución analítica.

El problema es que este sistema de ecuaciones es (digamos) puñetero y un pequeño error en los decimales hace que se pierda mucha precisión.

Luego comento un poco más sobre este tema :)

Osselin dijo...

La clave está en que 10x=z3. Luego basta tener la lista de cubos perfectos y un poco de picardía.
Creo que es una pista bastante válida.

MartinAngelair dijo...

1.- Es más fácil ls conversión del segundo enunciado que la del primero,...


('qué de vueltas que le di',... :)



2.- Que me deprime en el fondo esto, cuando hace años descubrí que no sabía resolver a mano una simple raíz cuadrada (bueno, simple, simple, no,...:)



3.-Más de la mitad de mi vida la expresé en lenguaje matemático,... y muy pronto aprendí que era posible que hubiese resultado sin llegar a ser solución,(más o menos por 8º de E.G.B.,...:)



4.-A ver si soy capaz de llegar a los resultados del segundo planteamiento,(me entra morriña hasta de las matrices,...:)






Besos.
B.N.C.M.

Angeles dijo...

Después de darle mil vueltas al asunto, (Hasta el mareo) he deducido que los protagonistas del primer problema se conocen, puesto que se tutean, lo que me hace pensar que son familia o amigos; teniendo en cuenta que la suma de las dos edades, 36 años, (Pocos años después del montón de operaciones que hay que hacer) me hace suponer, (Carezco de la certeza) que los protagonistas son increíblemente jóvenes, por lo que descarto que sean padre e hijo, (Podrían ser hermanos, el segundo y más joven, fruto de un matrimonio posterior o de un embarazo no programado) además, por lo técnico del dialogo, creo que uno de ellos, el que lleva la voz cantante, es alguien con una capacidad intelectual muy alta… y ya no soy capaz de ir mas lejos.

Me lo pase muy bien imaginando…

Osselin dijo...

Parece que no se anima nadie.
La lógica obliga a analizar estas proposiciones:
1) Sólo puede ser un numero >25 y < 32.

2) Sin realizar ninguna ecuación, sólo con tanteos mentales y sin escribir es obvioi que la solución está:
a) Entre 30 y 31 para a
b) Entre 6 y 7 para c o b
c) Entre 0 y 1 para c o b

3) Dada la longitud de los décimalesl necesarios para cuadrar la diferencia de + 24 será necesario utilizar una calculadora que ofrezca la mayor cantidad de decimales posibles al obtener las s raíces del polinomio obtenido por el método de substitución.
4) Es posible (este fin de semana podría comnprobarlo) que el número de decimales necesario sea la sorpresa.

Lo más importante aquí desde el punto de vista pedagógico habría sido llegar al planteamiento de intervalos para la solución por puro cálculo mental. El razonamiento metódico.

Me he arriesgado a hacer el ridículo puesto que desde que se implantó la ESO no he vuelto a tocar el Álgebra en clase.

Saludos.

frikosal dijo...

Osselin,
No está mal !
Mira como se puede resolver con un programa, acabo de colgarlo.

ric@rd dijo...

veo que la cosa va de matematicas, y aunque fui de ciencias, la vida me ha convertido a letras...
hoy ma han enviado esto:
http://www.lavanguardia.com/economia/20120217/54255552033/ecuacion-matematica-causo-derrumbe-sector-financiero.html
el tema va de la ecuacuión de Black-Scholes; tiene solución?
s@lut y no empacharse!